Помогите исследовать функцию и построить её график.. (x^2-4*x+1)/(x-4).

Помогите исследовать функцию и построить её график.. (x^2-4*x+1)/(x-4).

Для начала, найдем область определения функции. В данном случае, функция не определена при x = 4, так как знаменатель равен нулю. Таким образом, область определения функции - все значения x, кроме x = 4.

Теперь рассмотрим поведение функции при x → ±∞. Для этого разделим каждый член функции на x и применим правило Лопиталя:

lim(x → ±∞) (x^2-4*x+1)/(x-4) = lim(x → ±∞) (1 - 4/x + 1/x^2)/(1 - 4/x) = 1/1 = 1

Таким образом, горизонтальная асимптота функции y = 1 при x → ±∞.

Теперь найдем точки пересечения функции с осями координат. Для этого приравняем числитель функции к нулю:

x^2 - 4*x + 1 = 0

Решив это квадратное уравнение, получим два корня: x ≈ 0.27 и x ≈ 3.73. Таким образом, функция пересекает ось x в точках (0.27, 0) и (3.73, 0).

Теперь построим график функции. Для этого построим таблицу значений функции для различных значений x:

x | f(x)

-3 | -1.5 -2 | -1.67 -1 | -1.75 0 | 1 1 | 0.75 2 | 0.67 3 | 0.5 4 | не определено 5 | 0.6 6 | 0.67 7 | 0.75 8 | 0.83

Теперь построим график, используя полученные значения: